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Arithmetic

삼각함수 정리

God Dangchy What should I do? 2019. 6. 10. 18:45

프로그래밍을 할 때, 이미지를 다루거나 일일이 선을 그어가며, 도형을 그려야 할 때, 삼각함수가 필수입니다. 프로그램을 공부할 때, "수학은 몰라도 돼~"라는 건 간단한 것 만들 때 뿐이고, 실제 많은 시간을 들여서 만들어야 하는 것은 이런 수학과 관련된 공식을 쓸 수 밖에 없습니다. 단순히 "수학몰라도 프로그래밍하는 데 문제없어"가 아니고, "난제에 부딧혔을 때, 수학을 모르면 못 만들 수 있어~"가 맞는 말이죠. 하지만, 고등학교 때나 풀었던 공식들을 지금까지 알고 있는 분은 그리 많지 않을 겁니다. 정석책을 뒤지려고 했더니, 어디 갔는 지 없습니다.;;;;;;;;

어쩔 수 없이 정리를 해 둡니다.

 

피타고라스 정리

\[c^2 = {a^2} + {b^2}\]

\[c = \sqrt{ {a^2} + {b^2} }\]

 

기본 정의에 따른 공식

\[\sin \theta = \frac{b}{c}\]

\[\cos \theta = \frac{a}{c}\]

\[\tan \theta = \frac{b}{a} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\]

 

제곱공식

\[\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\]

 

사인과 코사인에서 위상차에 따른 관계

\[\sin (-\theta) = -\sin (\theta), \cos (-\theta) = \cos (\theta) \]

\[\sin ( \frac{\pi }{2} - \theta ) = \cos \theta \]

\[\cos ( \frac{\pi}{2} - \theta ) = \sin \theta \]

\[\tan ( \frac{\pi}{2} - \theta ) = \cot \theta \]

\[\sin ( \frac{\pi}{2} + \theta ) = \cos \theta \]

\[\cos ( \frac{\pi}{2} + \theta ) = -\sin \theta \]

\[\tan ( \frac{\pi}{2} + \theta ) = -\cot \theta \]

 

\[\sin ( \pi - \theta ) = \sin \theta \]

\[\cos ( \pi - \theta ) = -\cos \theta \]

\[\tan ( \pi - \theta ) = -\tan \theta \]

 

\[\sin ( \pi + \theta ) = -\sin \theta \]

\[\cos ( \pi + \theta ) = -\cos \theta \]

\[\tan ( \pi + \theta ) = \tan \theta \]

 

 

덧셈공식

\[       \sin( \alpha \pm \beta )  = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta       \]

\[       \cos( \alpha \mp \beta )  = \cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta        \]

 

\[       \tan( \alpha \pm \beta )  = \frac{ \tan \alpha \pm \tan \beta }{  1 \mp \tan \alpha \tan \beta }       \]

 

 

배각의 공식

\[       \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha       \]

\[       \cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1  = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha      \]

\[       \tan 2 \alpha = \frac{  2 \tan \alpha }{ 1 - \tan^2 \alpha }     \]

 

반각의 공식

\[  \sin^2 \frac{\theta}{2}    = \frac{1 - \cos \theta}{2}   \]

\[  \cos^2 \frac{\theta}{2}    = \frac{1 + \cos \theta}{2}   \]

\[  \tan^2 \frac{\theta}{2}    = \frac{1 - \cos \theta}{ 1 + \cos \theta }   \]

 

곱 -> 합

\[   \sin \alpha  \cos \beta = \frac{1}{2} \{  \sin ( \alpha + \beta )   + \sin (  \alpha - \beta ) \}           \]

\[   \cos \alpha  \sin \beta = \frac{1}{2} \{  \sin ( \alpha + \beta )   - \sin (  \alpha - \beta ) \}           \]

\[   \cos \alpha  \cos \beta = \frac{1}{2} \{  \cos ( \alpha + \beta ) + \cos (  \alpha - \beta ) \}           \]

\[   \sin \alpha  \sin \beta = \frac{1}{2} \{  \cos ( \alpha + \beta ) - \cos (  \alpha - \beta ) \}           \]

 

합 -> 곱

\[   \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2}  \]

\[   \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin \frac{ \alpha - \beta }{2}  \]

\[   \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2}  \]

\[   \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin \frac{ \alpha - \beta }{2}  \]

 

 

 

삼각함수를 다른 삼각함수 1개로 바꾸기

  sin cos tan
sin \[   \sin{x}   \] \[   \sqrt{ 1 - \cos^2{x}}   \] \[   \frac{\tan{x}}{ \sqrt{1 + \tan^2 {x}} }   \]
cos \[   \sqrt{1 - \sin^2 {x}}   \] \[   \cos{x}   \] \[   \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2{x}}}   \]
tan \[   \frac{\sin{x}}{\sqrt{1-\sin^2{x}}}   \] \[   \frac{\sqrt{1-\cos^2{x}}}{\cos{x}}   \] \[   \tan{x}   \]

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